海市蜃楼是一种非常有趣的光学现象，其本质是由于光在非均匀折射率介质中传输时发生的折射和全反射现象。本文基于费马原理与拉格朗日方程在理论上推导出了光在非均匀折射场的传输方程。然后通过数值模拟成功复现了光在非均匀折射场中传输的图像与相应蜃景图像。最后，通过实验研究了不同入射角度下光线传输规律和海市蜃景现象，实验结果与理论符合较好，验证了上述理论分析的正确性。

　　在古代神话中，海市蜃楼现象被解释为有一种叫做“蜃”的海怪在捣鬼。蜃的形态接近于龙形，是龙的近亲，谓之蜃龙。《三才图会》中说蜃龙“状似螭龙，有角有耳，背鬣作红色，嘘气成楼台，将雨即见，得其脂和蜡为烛，香闻百步，烟出其上，皆成楼阁之形”[1]。蜃龙从口中吐出的气可以看到各种各样的幻影。这些幻影大多数是亭台楼阁，而且这些幻影还随人不同，就算看同一个幻影，在不同人眼里也有细节差别。蜃在空中喷出的妖雾，演化为种种环境，致人迷失，甚至丧命。沈括在他的《梦溪笔谈》中有过这样的记载：“登州海中，时有云气，如宫室、台观、城堞、人物、车马、冠盖，历历可见，谓之“海市”或曰“蛟蜃之气所为”[2]。

　　现在我们知道，海市蜃楼是一种有趣的光学现象，其本质是由于光线在非均匀折射率场中传输时发生的折射和全反射现象。根据出现的位置相对于原物的方位，海市蜃楼可以分为上现蜃景、下现蜃景和侧现蜃景；根据它与原物的对称关系，可以分为正现蜃景、侧现蜃景、顺现蜃景和反蜃景等。

　　海市蜃楼现象的出现与所处的地理位置、物理环境有密切联系。地表和高空存在较大的温差往往是大多数蜃景形成的必要条件。根据文献及新闻报道，海市蜃楼其主要分布在世界各州西部沿海地区、少部分在内部湖及沙漠地区可见。比如，西部沿海地区：不列颠哥伦比亚省西海岸[3]，美国加利福尼亚州西海岸[4]，在意大利和西西里岛之间的墨西拿海峡[5]，富山湾本州岛的西北海岸[3]，智利的整个西海岸[3]，西班牙加利西亚的西海岸及邻近海岛[6,7]；内陆湖地区：加拿大曼尼托巴省西霍克湖[8]，法国和瑞士中间的日内瓦湖[5]；沙漠地区：美国犹他州盐湖沙漠（及其周边的盐湖、斯坦斯伯里岛）[3]等等。该种地貌皆因水/冰/沙子比热容比空气大，在阳光随时间变化的不同照射下，易在表面附近形成反常的温度变化。未结冰水面的早晨和沙漠地区的晚上，水或沙子的温度会比空气变化的要慢，使得在地表附近空气层的温度高于其上方的空气，并在该层中温度随高度上升而降低，之后的大气温度变化恢复对流层中应有的模式——即随海拔上升而下降，于是地表附近便形成了一层由温度先升高再下降引起的波导层[8,9]。

　　第 33 届国际青年物理学家锦标赛（IYPT）的第 5 题为有关海市蜃楼现象的问题：Fata Morgana is the name given to a particular form of mirage. A similar effect can be produced by shining a laser through a fluid with a refractive index gradient. Investigate the phenomenon[10]. 本题要求研究使用激光照射具有折射率梯度的流体时产生的类似法塔莫干纳（Fata Morgana）现象。法塔莫干纳是一种特殊形式的海市蜃楼的名字，指的是一种快速变化、拥有多重图像的幻影。因大气中空气流动，对应的折射率分布随时间一直在变化，光线在此种介质中传输时其光线轨迹函数一直在发生变化，从而导致进入人眼的同样角度的光线在远方落点一直变化，人看到的像也就在变化。其特点主要有：（1）幻影往往与原物不同，呈现被拉伸或压缩的图像；（2）幻影具有正立或倒立的图像；（3）图像出现相互重叠，存在多重幻影；（4）幻影随时间快速变化等。本文基于费马原理和拉格朗日方程推导光在非均匀折射场的传输方程，并通过实验验证上述理论的正确性。

　　如图 1（a）所示，我们假设空间中的折射率分布为下大上小，物体用 “ab” 表示。根据费马原理，其光线轨迹如实线所示，人眼位置处光线的切线延长线对应的虚像即为幻影，用 “ a′b′ ” 表示。对于物体 “ab” 和虚像 “ a′b′ ”，其入射人眼光线时，人眼便会判断虚像比物体本身要大，为放大的像；当θ2θ1人眼便会判断虚像比物体本身要小，为缩小的像。类似地，如果我们采用不同的折射率分布，例如当折射率分布同样为下大上小，但梯度更大时，其幻影则为倒立的虚像，如图 1（b）所示。当折射率分布更为复杂时，同一位置不同角度光线进入人眼时就会呈现多个像，则可以得到如图 1（c）所示的重叠虚像。

　　我们以人眼与物体底部或物体对应虚像位置（图 1 中 “b” 或 “ b′ ” 端）的连线为夹角起始边，人眼与物体顶部或物体对应虚像位置（图 1 中 “a” 和 “ a′ ” 端）的连线为终止边，两条连线的夹角定义为物体或虚像相对于人眼夹角，并定义逆时针旋转方向为正方向。显然，对于所有物体，其相对于人眼的夹角一定为正；而所成正立的虚像（见图 1（a））相对于人眼的夹角为正，所成倒立的虚像（如图 1（b））相对于人眼的夹角为负。

　　需要注意的是为方便表达我们一直假定物体与其虚像在同一水平位置。实际上，像与物的水平位置并不能保证相同。因为在考虑实际成像位置时，不能忽略人眼高度，在同一点发出光线打到人眼不同位置，其反向延长线交点才为线 所示。在本文分析中，由于我们只需要考虑像的大小等特征，这些特征在人眼中只与入射人眼光线夹角相关，故可以进行如上简化表达。

　　其中，S 为作用量（此处为光程），L 为拉格朗日量；x 表示位矢，x1，x2 表示光线经过轨迹的起点与终点的位矢，n ( x ) 为折射率分布。

　　我们考虑一简单情况，即介质折射率仅沿 y 轴变化，那么上式可简化为可分离变量的微分方程，如下所示

　　其中，浓度 c 代表溶质的质量分数，高度 y 的单位是 cm。同时，假设介质折射率随浓度变化关系为

　　对于不同高度的实物，在高度为 1cm 处观察，可以分别得到图 3 所示的几种光路图与相应蜃景模拟图。

　　类似地，我们假设折射率仅沿极轴变化，那么在极坐标系中广义坐标 q 为 r，广义时间 t 为 θ。代入泛函，得到

　　由此可以得到关于光线轨迹函数的可分离变量的微分方程通过积分，我们就可以得到在极坐标系下 r 关于 θ 的关系式为

　　据此，若我们已知某一条光线传播轨迹，对其进行多项式拟合得到光线轨迹方程，再根据公式（6）或公式（9），便可得到该轨迹上的折射率分布。若整个空间折射率分布存在一定规律，就能求出整个空间的折射率分布[11]。

　　在实验中构造出非均匀折射率场有很多方法，比如热梯度法[12]、溶液浓度法[11,13]等。在本文中我们通过制备非均匀浓度分布的 NaCl 溶液构造出非均匀分布的折射率场。

　　根据洛伦兹电子论、朗伯定律和比尔定律，张志伟等人提出了一种用来描述溶液折射率与浓度关系的理论模型[14]。其溶液折射率与溶液浓度的关系近似成线性关系，即

　　实验上，我们配置了不同质量分数的 NaCl 溶液，并分别测量其在 405nm、473nm 和 532nm 波长辐照时的折射率。本文中基于掠入射原理的阿贝折光仪（折射率测量范围 1.300~1.700，精度 0.001）进行测量[15]，实验结果如图 4 所示。从图中可以看出，NaCl 溶液折射率 n 在给定波长激光下随 c 呈线性变化关系，证明了公式（11）的正确性。

　　配置了均匀梯度变化的 NaCl 溶液，其中高度 y 的单位为 cm，溶液总高度为 8.00cm。配置时并未使用多级混合盛液槽的方法[13]，而是使用缓冲槽（材质为 EPE 珍珠棉泡沫板）保证实际浓度尽量接近理想浓度[13]，这样对于实验装置的要求与操作更为简洁。故为了保证配置结果符合实验要求，我们在配置完成后，使用针管从不同高度收集了少量溶液进行折射率测量。

　　根据图 4 中的折射率随浓度线性变化拟合结果可知，在波长为 532nm 的激光照射下，该水槽中溶液折射率随高度变化关系为

　　我们将激光器（λ = 532nm）固定在二维转台上，利用二维转台控制激光的入射角度。激光从同一水平高度沿不同倾角 θ（-2.1°~24.2°）照射，得到图 5（a）所示的光线传播轨迹。将上述实验中所用的激光波长、入射角、溶液折射率梯度分布函数等参数代入公式（6）得到如图 5（b）所示理论曲线。从图中可以看到，激光在具有折射率梯度的介质中传输时，其传播轨迹为一条曲线。进一步地，我们选取图 5（b）中入射角分别为 4.1°、8.3°、14.3° 和 20.9°（从下到上）时的光线（a）中相应入射角度的光线轨迹（等间隔取点）进行对照，其结果如图 5（c）所示。通过计算，可得得到光线轨迹模拟结果与实验结果的均方差最大为 0.27cm，表明理论模拟结果同实验数据符合较好。

　　我们将固定在玻璃水槽一端的入射点替换为观察者（即人眼或照相机），对水槽另一端照射 532nm 波长激光，并在激光后放置一毛玻璃形成均匀光。由于光路可逆原理，该过程理论模拟应与上节中理论模拟相同。于是对于某一固定观察者，我们可得到不同出射倾角下，其在水槽另一端的入射点高度。进一步地，当我们已知出射点、出射倾角与入射出射水平间距（即水槽内径长）时，我们可沿出射点切线反向延长获得在玻璃水槽另一端的高度，此即我们从观察者视角看到的虚像的位置。由此，我们最终可得到观察倾角 θ、实际入射点高度 yr 与观察（虚像）高度 yo 的一组对应关系，记作 θ - yr - yo 。接下来，我们便可以一小间隔将某一倾角区间分为 N 份，通过模拟，得到了相对应的 N 组 θ - yr - yo 对应关系。该小间隔应足够小以至于在模拟中能对应到连续像素的实际入射点高度。

　　我们将打印的南开大学校徽（图 6（a），校徽直径 13cm）粘贴于玻璃水槽一端。从另一端于高度 1cm 处观察，得到实验拍摄结果，其中一部分如图 6（b）所示。为使能覆盖完整，我们取倾角区间为

　　，并将其划分为 N=1000 份，代入实验数据进行模拟，可得到 1000 组 θ - yr - yo 关系。在上述模拟中，我们使用的是物理高度，经过代换后，我们将 yr 和 yo 分别以像素高度表示为 hr 和 ho 。其中，hr 即代表图 6（b）中的像素高度，ho 即代表我们所要模拟的虚像（幻影）中的像素高度。于是我们可将图 6（b）中 hr（像素行）位置的图像，对应放置在新图像 ho（像素行）的位置，得到如图 6（d）所示的模拟结果。我们将该模拟图像与实际拍摄图像图 6（c）比较，发现理论和实验符合得较好。

　　当流体折射率梯度发生连续变化时，同一物体会形成多个虚像，使人眼看到的幻影拥有多重层叠，给人以错觉，形成法塔-莫干纳现象。

　　其中，ξ 为随时间匀速旋转的主轴，单位为 cm，旋转速度为 ω = -π/120rad/s。利用公式（14），我们可以得到折射率在整个空间分布随时间变化。我们以 1/6rad/s 为时间间隔（即 FPS=6 帧/秒），初始角度为 θ0 = π/48，作出折射率分布图，再根据公式（6）得到相应的光线轨迹分布。其部分结果（0 ~ 5s）如图 7 所示，从图中可以看到在不同折射率分布下虚线（幻影）的变化特点。利用该方法能够很好地模拟出变化的海市蜃楼现象。

　　本文基于费马原理与拉格朗日方程对非均匀折射率场中的光传输现象进行了探。